Trực tâm của tam giác là gì? Tính chất và cách tìm tọa độ trực tâm

Trực tâm là j?

Trực tâm tam giác là những kiến thức hình học cơ bản ta đã học ở chương trình toán học trung học cơ sở. Nhưng nhiều năm trôi qua, ít người có thể nhớ chính xác trực tâm là gì? Vậy trong bài viết này chúng ta hãy cùng đi tìm hiểu định nghĩa, tính chất cũng như cách xác định trực tâm của tam giác.

Trực tâm của tam giác là gì?

Trực tâm là giao điểm của 3 đường gì? Trực tâm của tam giác chính là giao điểm của 3 đường cao trong một tam giác.

 Điều này không phải dựa vào mắt thường, mà cần dựa vào dấu hiệu nhận biết:

+ Đối với tam giác nhọn: Trực tâm của tam giác nằm ở miền trong tam giác đó.

+ Đối với tam giác vuông: Trực tâm của tam giác chính là đỉnh góc vuông.

+ Đối với tam giác tù: Trực tâm của tam giác nằm ở miền ngoài tam giác đó.

Trực tâm là j?
Trực tâm là j?

Trực tâm của tam giác có tính chất gì?

Tính chất của trực tâm trong tam giác đó là:

Khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó đến trung điểm cạnh nối hai đỉnh còn lại sẽ bằng 1/2 khoảng cách từ một đỉnh tới TT.

Nếu tam giác đã cho là tam giác cân thì đường cao cũng sẽ là đường trung tuyến, đường trung trực và đường phân giác của đỉnh tam giác cân đó.

Trong tam giác đều, trực tâm của tam giác cũng là trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp cũng như ngoại tiếp của tam giác đó.

Định lý Carnot: Đường cao tam giác sẽ ứng với một đỉnh cắt đường tròn ngoại tiếp ở điểm thứ hai là đối xứng của TT qua cạnh tương ứng.

Tính chất trực tâm của tam giác
Tính chất trực tâm của tam giác

Xem thêm:

Cách tìm tọa độ trực tâm của tam giác

Trực tâm của tam giác nhọn

Tam giác nhọn sẽ có trực tâm nằm ở miền trong tam giác.

Trực tâm của tam giác vuông

Trực tâm của tam giác vuông chính là đỉnh của góc vuông.

Trực tâm của tam giác tù

Trực tâm của tam giác sẽ tù nằm ở miền ngoài tam giác đó.

Cách chứng minh một điểm là trọng tâm, trực tâm trong tam giác

Để chứng minh một điểm là trọng tâm, trực tâm của tam giác ta cần sử dụng định nghĩa và tính chất trọng tâm, trực tâm trong tam giác.

Giả sử ta cần chứng minh H là trực tâm, G là trọng tâm của ABC. Ta có:

Để chứng minh G chính là trọng tâm của tam giác ABC thì ta dùng một trong 2 cách sau đây:

– Cách 1: Chứng minh G chính là giao điểm của hai đường trung tuyến trong tam giác.

– Cách 2: Chứng minh G thuộc trung tuyển và nó chia trung tuyển theo tỉ lệ 2:1.

Còn để chứng minh H là trung trực của tam giác ABC thì ta cần chứng minh H chính là giao điểm của hai đường cao trong tam giác.

Bài tập về đường trực tâm tam giác

Trực tâm của tam giác 
Trực tâm của tam giác

Bài 1: Có tam giác ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của nó. Hãy chỉ ra đường cao của tam giác HBC, từ đó chỉ ra trực tâm của tam giác đó. 

Giải:

Gọi D, E, F chính là chân các đường vuông góc kẻ từ A, B, C của ΔABC.

⇒ AD ⟘ BC, BE ⟘ AC, CF ⟘ AB.

ΔHBC có :

AD ⊥ BC nên AD chính là đường cao từ H cho đến BC.

BA ⊥ HC tại F nên BA chính là đường cao từ B cho đến HC.

CA ⊥ BH tại E nên CA chính là đường cao từ C cho đến HB.

AD, BA, CA cắt nhau tại A nên A là trực tâm của ΔHCB.

Bài tập 2: Cho △ABC có các đường cao AD; CF; BE, chúng cắt nhau ở H. I; J lần lượt là trung điểm của AH và BC.

  1. a) Chứng minh: JT⊥EFJT⊥EF
  2. b) Chứng minh: IE⊥JEIE⊥JE
  3. c) Chứng minh: DA là tia phân giác của góc EDF.
  4. d) Gọi P; Q là hai điểm đối xứng của D qua AB và AC.

Chứng minh: P; F; E; Q thẳng hàng.

Lời giải:

  1. a) Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác vuông ta có:

FI = 12AH = EIFJ = 12BC = EJFI = 12AH = EIFJ = 12BC = EJ

Vậy IJ là đường trung trực của EF

b)

c)Tứ giác BFHD và ABDE nội tiếp (đpcm).

  1. d) H là giao điểm 3 phân giác của tam giác EFD.

Góc PFB = BFD

Góc DFH = EFH

4 góc này cộng lại = 2.90 =180 => P,E,F thẳng hàng.

Tương tự ta có F, E, Q thẳng hàng.

Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) H là trực tâm của tam giác, D là điểm đối xứng của A qua O.

Bài 4: Tìm tọa độ trực tâm h của tam giác ABC trong khong gian OXYZ. 

Bài viết trên đây là tổng hợp những kiến thức liên quan đến trực tâm, mong rằng những chia sẻ trên đây đã giúp bạn nắm rõ kiến thức trực tâm là gì, định nghĩa, tính chất cũng như cách xác định trực tâm của tam giác. 

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *