Trong phần kiến thức hình học thuộc chương trình toán học phổ thông chúng ta đã từng được học một chủ đề khá quan trọng đó là trọng tâm trong tam giác. Tuy nhiên sau một thời gian dài nếu không ôn lại thì sẽ có rất nhiều người quên. Vậy trọng tâm trong tam giác là gì?. Trong bài viết bạn đọc hãy cùng muasieunhanh.com tìm hiểu nhé!
Nội Dung Bài Viết:
Trọng tâm tam giác là gì?
Trước khi đi cắt nghĩa khái niệm trọng tâm trong tam giác, chúng ta cần nắm được thế nào là đường trung tuyến?
Đường trung tuyến trong một tam giác là đoạn thẳng được nối từ 1 đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện.
Mà trọng tâm tam giác chính là giao điểm của ba đường trung tuyến, vậy nên chúng ta cần phải hiểu được khái niệm đường trung tuyến là gì thì mới có thể xác định được khái niệm trọng tâm tam giác.
Ví dụ: Ta có 3 đoạn thẳng: CP, BN và AM lần lượt là 3 đường trung tuyến xuất phát từ 3 đỉnh A. B, C của tam giác ABC.
Ba đường trung tuyến này giao nhau tại 1 điểm, đó là điểm G. Và G chính là trọng tâm của tam giác ABC đã cho.
Tính chất trọng tâm tam giác
Trọng tâm của tam giác có tính chất sau: chiều dài khoảng cách từ trọng tâm tới 3 đỉnh của một tam giác bằng ⅔ độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó.
Theo tính chất trên. Ta có thể lấy một ví dụ như sau: Ta có AM, CP, BN lần lượt là trung tuyến của tam giác ABC. Điểm G chính là trọng tâm.
Vạy nên:
- GA = 2/3 AM
- GB = 2/3 AN
- GC = 2/3 CP
Ngoài ra, liên quan đến trọng tâm của tam giác như còn có nhiều hằng đẳng thức khác. Nếu xét theo trường hợp điểm G chia 3 đường trung tuyến thành các phần bằng nhau. Ta có:
Đối với trung tuyến AM:
AM = 3/2 AG; AM = 3 GM; GM = 1/2 AG, AG = 2 GM;…
Đối với trung tuyến BN:
BN = 3/2 BG; BN = 3 GN; GN = 1/2 BG, BG = 2 GN; …
Đối với trung tuyến CP, ta có:
CP = 3/2 CG ; CP = 3 GP; CG = 2 GP = GP = 1/2 CG
Cách tìm trọng tâm tam giác
Cos2 cách để xác định trọng tâm của tam giác, đó là:
Cách 1:
- Kẻ tam giác ABC
- Trên cạnh BC, xác định trung điểm M (MB = MC).
- Tạo ra trung tuyến AM (bằng cách nối A với M).
- Thao tác tương tự với các cạnh còn lại, sau đó bạn sẽ tạo ra được thêm 2 đường trung tuyến nữa.
- Gọi G là giao điểm của 3 đường trung tuyến vừa xác định được. Lúc này G chính là trọng tâm của tam giác ABC.
Xem thêm: Số thực là gì – Kí hiệu?
Cách 2:
- Vẽ tam giác ABC.
- Trên cạnh BC xác định trung điểm M (MB = MC)
- Nối điểm M với đỉnh A, ta được trung tuyến AM.
- Lấy 1 điểm G trên đoạn AM ( lưu ý xác định AG = ⅔ AM).
- Dựa vào tính chất trọng tâm có thể xác định được G là trọng tâm của tam giác ABC.
Trọng tâm của các hình học đặc biệt
Trọng tâm của tam giác đều
Hãy quan sát và đọc hướng dẫn bên dưới để xác định được trọng tâm của tam giác đều:
Ta có, điểm G là giao điểm của 3 đường trung tuyến xuất phát từ 3 đỉnh trong tam giác ABC. Vậy G không những là trực tâm mà còn là trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp mà còn là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.
Trọng tâm tam giác vuông
Việc xác định trọng tâm của tam giác vuông cũng tương tự như tam giác thường. Cụ thể:
Xét tam giác ABC, có G là trọng tâm, vuông góc tại A. Vì đường trung tuyến của một cạnh góc vuông là AI, nenen: AI = 1/2 BC = BI = CI.
Vì vậy, 2 tam giác AIC và AIB đều là tam giác cân tại I.
Trọng tâm của tam giác vuông cân
Việc xác định trọng tâm của tam giác vuông cân có thể được thực hiện theo 2 cách. Cụ thể:
Tam giác ABC là một tam giác vuông cân tại A, có G là trọng tâm. AG là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác này. Vậy AG sẽ vuông góc với BC.
Ngoài ra, vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.
=> BM = CN và BN = AN = CM = AM.
Trọng tâm tam giác cân
Việc xác định trọng tâm của một tam giác cân cũng giống như việc xác định trọng tâm tam giác thường.
Xét trường hợp tam giác ABC có G là trọng tâm, cân tại A. Lúc này AG không những là đường cao, đường phân giác mà còn là trung tuyến của tam giác ABC.
Mà BC vuông góc AG => tam giác ABI và tam giác ACI đều là tam giác vuông tại I.
Trọng tâm trong hình tứ diện
Giao điểm nối nối đỉnh với của tam giác với trọng tâm tam giác của 4 đường thẳng cũng chính là trọng tâm của tứ diện MNPQ. Giao điểm đó chính là điểm G.
Bài tập ví dụ minh họa về trọng tâm tam giác
Trong phần này chúng ta sẽ cùng nhau giải các bài tập về trọng tâm tam giác.
Bài 1: Tam giác ABC có trọng tâm I và trung tuyến AD= 9cm. Tính đoạn AI?
Cách giải:
Dựa theo tính chất đường trung tuyến của tam giác, ta có:
Tam giác ABC có I là trọng tâm, AD là đường trung tuyến, suy ra AI = ⅔ AD
Do đó AG = AI x AD = (⅔). 9 = 6cm.
Vậy độ doài đoạn AI = 6 cm.
Bài 2: Cho tam giác đều MNP có I là trọng tâm. Chứng minh rằng IM = IN = IP.
Hướng dẫn giải:
Gọi R, O, S lần lượt là trung điểm của MN, MO, PN.
Mà 3 điểm MS, PR, NO đều cùng đồng quy tại trọng tâm I. Tam giác MNP là tam giác đều:
Vậy nên:
MS = PR = NO (1).
Theo tính chất đường trung tuyến, I là trọng tâm của tam giác ABC nên:
MI = ⅔ MS, PI = ⅔ PR, NI = ⅔ NO (2).
Từ (1) và (2) suy ra: GA = GB = GC.
Vậy là bài viết vừa rồi, muasieunhanh.com đã cùng với bạn đọc ôn lại các kiến thức hình học với chủ đề trọng tâm tam giác là gì? Tìm hiểu các chỉ dẫn để có thể xác định trọng tâm trong tam giác. Vì trọng tâm của một tam giác cũng tương tự và dễ nhầm với một số tính chất khác của tam giác, vậy nên hãy chú ý và cẩn trọng hơn để khi gặp trường hợp này hoặc khi dạy học cho cái thì bạn có thể tự làm được nhé!
