Cát tuyến là gì? Cách xác định cát tuyến của đường tròn? Cho ví dụ

Cát tuyến chính là đường thẳng cắt các đường khác

Cát tuyến là nội dung quan trọng trong Toán Hình Học lớp 9 thường hay xuất hiện trong các đề thi, đề kiểm tra. Vậy cát tuyến là gì? Cách xác định cát tuyến của đường tròn như nào? Hãy cùng chúng tôi tìm hiểu chi tiết về nội dung toán hình học này qua các thông tin trong bài nhé.

Cát tuyến là gì?

Cát tuyến là một từ Hán – Việt mà trong đó:

  • Cát nghĩa là cắt.
  • Tuyến có nghĩa là đường thẳng.

Như vậy, cát tuyến chính là một đường thẳng cắt các đường khác (như đường thẳng, đường tròn, đường cong,…)

Cát tuyến chính là đường thẳng cắt các đường khác

Theo sách giáo khoa bộ môn Toán học, cát tuyến chính là một đường thẳng cắt một đường thẳng khác. Cát tuyến của đường tròn chính là 1 đường thẳng cắt đường tròn đó tại hai điểm riêng biệt. Cát tuyến của 2 đường thẳng là 1 đường thẳng cắt 2 đường thẳng đó. Một vài trường hợp đặc biệt, cát tuyến sẽ đi qua tâm của đường tròn.

Tính chất của cát tuyến

Cho 1 đường tròn tâm O, 2 đường thẳng là AB và CD, ta có:

  • Nếu 2 đường thẳng chứa các dây AB và CD của đường tròn cắt nhau tại điểm M thì MA.MB = MC.MD.

Đảo lại, nếu 2 đường thẳng AB và CD cắt nhau tại điểm M và có MA.MB = MC.MD thì 4 điểm A, B, C, D cũng sẽ nằm trên 1 đường tròn.

AB và CD là cát tuyến của đường tròn tâm (O)

  • Nếu MC là tiếp tuyến, MAB là cát tuyến thì ta có MC^2 = MA x MB = MO^2 – R^2.

AB là cát tuyến và MC là tiếp tuyến của đường tròn (O)

  • Từ điểm K nằm ở bên ngoài của đường tròn, chúng ta kẻ lần lượt các tiếp tuyến KA, KB và cát tuyến KCD. H là trung điểm của CD thì 5 điểm K, H, A, B, O sẽ cùng nằm trên 1 đường tròn.
  • Từ điểm K nằm ngoài đường tròn, chúng ta kẻ các tiếp tuyến KA, KB và cát tuyến KCD đến đường tròn thì ta có AC/AD = BC/BD, góc KAC = góc ADK => AC/AD = KC/KA.

Tính chất của đường cát tuyến KCD và 2 tiếp tuyến KA, KB

Cách xác định đường cát tuyến của đường tròn

Cách vẽ đường cát tuyến của đường tròn và đường cong là yêu cầu cơ bản trong các bài toán có liên quan đến đường cát tuyến. Sau đây chúng tôi sẽ hướng dẫn các bạn cách vẽ cát tuyến chỉ với 2 bước đơn giản sau:

  • Bước 1: Xác định hai điểm bất kì nằm trên đường tròn hoặc cung tròn. Lưu ý đối với đường tròn, nếu không có yêu cầu đặc biệt gì thì các bạn không nên chọn hai điểm nằm trên đường kính của đường tròn đó.
  • Bước 2: Vẽ đường thẳng bằng cách nối hai điểm vừa mới xác định. Đường thẳng này chính là đường cát tuyến cắt và chia đường tròn thành hai cung.

Các bước xác định đường cát tuyến của đường tròn và đường cong

Ngoài ra, các bạn cũng có thể dựa vào các tính chất của cát tuyến để xác định được cát tuyến của đường tròn. Một số tính chất quan trọng cần chú ý là:

  • Nếu hai đường thẳng chứa các dây của một đường tròn mà cắt nhau tại một điểm thì tích các đoạn của mỗi dây sẽ bằng nhau.
  • Nếu có một đường thẳng là tiếp tuyến và một đường thẳng là cát tuyến của một đường tròn thì bình phương tiếp tuyến sẽ bằng tích hai đoạn của cát tuyến.
  • Nếu từ một điểm bên ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến và một cát tuyến thì tỉ số giữa các đoạn của cát tuyến sẽ bằng tỷ số các tiếp tuyến.

Bài tập vận dụng về cát tuyến của đường tròn

Để nắm vững kiến thức cát tuyến, chúng ta sẽ cùng làm bài tập vận dụng ở bên dưới đây:

Bài tập 1: Từ điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O), vẽ một cát tuyến MCD không đi qua tâm O của đường tròn và hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn tâm (O). Trong đó A, B là 2 tiếp điểm và C nằm giữa M, D.

  1. Hãy chứng minh: MA2 = MC.MD.
  2. Lấy I là trung điểm của đoạn thẳng CD. Chứng minh 4 điểm M, A, O, I, B cùng nằm ở trên một đường tròn.
  3. Lấy điểm H là giao điểm của hai đoạn thẳng AB và MO. Chứng minh rằng tứ giác CHOD nội tiếp đường tròn và AB chính là đường phân giác góc CHD.
  4. Lấy điểm K là giao điểm của các tiếp tuyến tại hai C và D của đường tròn tâm (O). Hãy chứng minh A, B, K thẳng hàng.

Ảnh minh họa bài tập 1

Bài giải

a. Theo giả thuyết ta có MA là tiếp tuyến của đường tròn (O)

=> góc MAC = góc MDA

=> ΔMAC ~ ΔMDA

=> MC/MA = MA/MD (cạnh tương ứng tỉ lệ trong tam giác)

Nên => = MC.MD

b. Theo giả thuyết ta có I là trung điểm của cạnh CD

=> Góc OIM = 90 = góc OAM = góc OBM

=> M, A, O, I, B cùng nằm trên một đường tròn có đường kính OM

c) Ta có MA ⊥ OA, AB ⊥ OM tại H

=> MH. MO = = MC. MD (chứng minh câu a)

=> MH.MC = MO.MD => ΔMHC ~ ΔMDO

=> góc MHC = góc MDO

=> Tứ giác HCDO nội tiếp đường tròn

=> Góc OHD = góc ODC = góc OCD = góc MHC

=> 900 – góc MHC = 900 – góc OHD

=> góc CHB = góc BHD

Nên => HB là phân giác của góc CHD

d. Ta có 2 tiếp tuyến KC, KD của đường tròn (O) cắt nhau tại điểm K

=> KDOC là tứ giác nội tiếp đường tròn

Theo chứng minh ở câu c ta có HOHC là tứ giác nội tiếp đường tròn nên 5 điểm O, D, K, C, H cùng thuộc một đường tròn

=> HK chính là đường phân giác của góc DHC (vì KC = KD)

Suy ra 3 điểm A, B, K thẳng hàng với nhau.

Bài tập 2: Cho 2 đường thẳng song song với nhau a, b và một đường cát tuyến c. Hai tia phân giác của cặp góc trong cùng phía cắt nhau tại điểm I. Hãy chứng minh điểm I cách đều 3 đường thẳng a, b và c.

Hình minh họa bài tập 2

Bài giải

Gọi 3 điểm A, B, C lần lượt là chân của đường vuông góc kẻ từ điểm I đến a, b, c.

Xét hai góc nằm trong cùng phía CEA và CFB ta có:

  • Do I nằm trên tia phân giác của góc CEA nên ta có IA = IC (1)
  • Do I nằm trên tia phân giác của góc CFB nên ta có IC = IB (2)

Từ (1) và (2) => IA = IB = IC

=> Điểm I cách đều đường thẳng a, b và c.

Bài tập 3: Từ điểm K nằm ở bên ngoài đường tròn tâm O, hãy kẻ các tiếp tuyến KA, KB và đường cát tuyến KCD đến đường tròn. Lấy M là giao điểm của AB và OK. Vẽ đoạn DI đi qua M. Hãy chứng minh:

a) KIOD là tứ giác nội tiếp.

b) KO là đường phân giác góc IKD.

Bài giải

a. Ta có tứ giác AIBD nội tiếp đường tròn tâm (O) và AB ⋂ ID = M

=> MA.MB = MI.MD (1)

Mặt khác ta có góc KAO = góc KBO = 90 => OBKA là tứ giác nội tiếp

=> MA.MB = MO.MK (2)

Từ (1) và (2) => MI.MD = MO.MK

=> KIOD là tứ giác nội tiếp

b. Vì KIOD là tứ giác nội tiếp

Nên => góc DKO = góc DIO

góc OKI = góc ODI

Mà ΔDOI cân tại đỉnh O nên góc DIO = góc DOI

=> góc DKO = góc OKI

Do đó KO chính là phân giác của góc IKD

Bài tập 4: Từ điểm A nằm bên ngoài đường tròn tâm O, kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE. H là giao điểm của 2 cạnh AO và BC. Chứng minh H là trung điểm BC.

Hình minh họa bài tập 4

Có thể bạn quan tâm:

Bài giải

Xét tứ giác OBAC ta có góc B = góc C = 90 (tính chất tiếp tuyến)

=> góc B + góc C = 180

Mà hai góc này lại đối nhau => OBAC là tứ giác nội tiếp đường tròn

Ta có:

  • AB = AC (theo tính chất hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau)
  • OB = OC = R

=> Điểm O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC (1)

Ta có AB = AC (theo cmt)

=> A nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC (2)

Từ (1) và (2) => OA chính là đường trung trực của đoạn BC

hay OA 丄 BC

Ta có ΔOBC cân tại đỉnh O (OB = OC = R)

Mà OH là đường cao của ΔOBC

Nên => H là trung điểm BC

Hy vọng những thông tin cát tuyến là gì? Cách xác định cát tuyến đường tròn bên trên sẽ giúp các bạn đạt được điểm cao trong học tập và nghiên cứu. Hãy truy cập muasieunhanh.com để đọc thêm nhiều kiến thức bổ ích nhé.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *